SISTEMA DE NUMERACION: BINARIO, DECIMAL, HEXADECIMAL EQUIVALENCIA ENTRE ELLOS

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como

N= S , R

Donde:

 N Es el sistema de numeración considerado (Ej. decimal, binario, etc.).

S Es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el     binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}. 

R Son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

Sistema Binario

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la computadora) y el dígito 1 se asocia con +5, +12 volts, encendido, energizado (de la computadora) con el cual se forma la lógica positiva. Si la asociación es inversa, o sea el número cero se asocia con +5 volts o encendido y al número 1 se asocia con cero volts o apagado, entonces se genera la lógica negativa.

A la representación de un dígito binario se le llama bit (de la contracción binary digit) y al conjunto de 8 bits se le llama byte, así por ejemplo: 110 contiene 3 bits, 1001 contiene 4 y 1 contiene 1 bit. Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la posición que tiene en el número, así por ejemplo el número 110101_b es:

1*(2⁰) + 0*(2¹) + 1*(2²) + 0*(2³) + 1*(2⁴) + 1*(2⁵) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53_d

La computadora está diseñada sobre la base de numeración binaria (base 2). Por eso este caso particular merece mención aparte. Siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremos que:

Existen dos dígitos (0 o 1) en cada posición del número.

Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2n.

Por ejemplo, 11012 (en base 2) quiere decir:

1*(2³) + 1*(2²) + 0*(2¹) + 1*(2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Sistema octal

Es aquel que utiliza 8 números comprendidos del 0 al 7. Los números octales pueden hacerse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Este tipo de sistema es usado más que todo en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal

 Sistema Decimal.

Es aquel sistema que utiliza el diez como base para la representación de cifras teniendo como dígitos los números comprendidos del 0 al 9 (conjunto llamado es un sistema usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración.

 Sistema hexadecimal

Es aquel sistema que utiliza dieciséis dígitos para su aplicación de los cuales se comprenden diez números decimales (0 al 9) y completa los números faltantes con las primeras seis letras de el alfabeto ("A" a la "F"). Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación. Esto se debe a que un dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios: 4 bits = 1 nibble (Se denomina nibble o cuarteto al conjunto de cuatro dígitos binarios); por tanto, dos dígitos hexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte que, como es sabido, es la unidad básica de almacenamiento de información).

•  Equivalencias entre sistemas

 Binario a decimal: se suman los productos de todos los valores posicionales por el numero que ocupa la posición.

Ej. Número binario: 1 1 0 1, 0 1

Multiplicado por x x x x x x

Valor posicional: 8 4 2 1 0,5 0,25 (2³ 2² 2¹ 2 ¹ 2 ² respectivamente)

8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 13,25 (decimal)

Recuerde, el valor posicional es la base del sistema elevada al número de la posición que ocupa el número.

Hexadecimal a decimal: se multiplica el número representado por el valor posicional que le corresponde, y se suman los resultados:

Ej. AE1B = A x 16³ + E x 16² + 1 x 16¹ + B x 16º

= 10 x 4096 + 14 x 256 + 1 x 16 + 11 x 1

= 4060 + 3584 + 16 + 11 = (44571)10

Octal a decimal: se debe realizar la suma de los productos que se obtienen de multiplicar cada digito octal-coincidente en valor con el análogo decimal - por el peso en decimal de la posición octal que ocupa:

Ej. 374148 = 3 x (4096) + 7 x (512) + 4 x (64) + 1 x (8) + 4 x (1) = (16140)10

Decimal o binario: para cambiar de base decimal a cualquier otra base se divide el número que se quiere convertir por la base del sistema al que se quiere cambiar, los resultados que se obtengan en el cociente debe seguir dividiéndose hasta que este resultado sea menor que la base. Los residuos que resulten de todas las divisiones en orden progresivo se irán apuntando de derecha o izquierda.

Ej.: convertir el número decimal 39 a binario.

39 : 2 = 19 Resto = 1

19 : 2 = 9 Resto = 1

9 : 2 = 4 Resto = 1

4 : 2 = 2 Resto = 0

2 : 2 = 1 Resto = 0

( 1 0 0 1 1 1)2

Algoritmo parte entera: para convertir N = (0,5821)10 en su equivalente binario multiplique N y cada parte fraccional sucesiva por la base (2 en este caso), observando la parte entera del producto, como sigue:

Ej. Multiplicaciones Partes enteras

0,5821x2= 1,1642 1

0,1642x2= 0,3284 0

0,3284x2= 0,6568 0

0,6568x2= 0,3136 0

0,3136x2= 0,6272 0

Observe que la parte entera de cualquier producto puede ser solo cero o uno; ya que se están doblando números que son menores que uno. La sucesión de dígitos partes enteras de arriba hacia abajo, da el equivalente binario requerido.

Es decir N = 0,5821 es equivalente a (0,1000)2, aproximadamente. 

Decimal a hexadecimal: el mecanismo de conversión es el mismo que el descripto en el item 3, pero dividiendo el número por 16, que es la base del sistema hexadecimal. Para convertir una fracción decimal a su equivalente hexadecimal, aplicamos el algoritmo parte entera, con base 16.

Decimal a octal: mecanismo anterior, pero dividiendo por 8, hasta obtener un resto menor a 8.

Binario a hexadecimal: se divide el número binario en grupos de cuatro dígitos binarios, comenzando desde la derecha y se reemplaza cada grupo por el correspondiente símbolo hexadecimal. Si el grupo de la extrema izquierda no tiene cuatro dígitos, se deben agregar ceros hasta completar 4 dígitos. Ejemplo: (111110011011010011)2 = 0011 / 1110 / 0110 / 1101 / 0011 = 3 E 6 D 3

Binario a octal: se lleva a cabo separando a partir de la derecha el número binario en tercetos y reemplazando uno de estos por el dígito octal equivalente según la tabla de la página 5.

Hexadecimal a binario: de la misma manera, para convertir número hexadecimales en binarios reemplazando cada símbolo hexadecimal por el correspondiente grupo de cuatro dígitos binarios, y descarte los ceros innecesarios, es decir, los ceros de la izquierda.